牛顿三次迭代公式是什么

牛顿三次迭代公式是一种求函数根的高精度方法，它在特定条件下具有三次收敛速度，可以快速减少误差。该公式通过重复计算函数、一阶导数和二阶导数来估计函数的根，如果函数具有连续的一阶和二阶导数，则收敛性通常更好。然而，它需要仔细选择初始猜测值，并且可能不适用于某些复杂函数或函数具有奇异性。

牛顿三次迭代公式

牛顿三次迭代公式是一种求函数根的高精度数值方法，由英国科学家艾萨克·牛顿提出。它在特定条件下具有三次收敛速度，这意味着它在每次迭代时将误差减少到大约立方。

公式

对于一个实函数 f(x)，其在 x 处的根为 a，牛顿三次迭代公式为：

x_{n+1} = x_n - (f(x_n) / f'(x_n)) * (1 - f(x_n) * f''(x_n) / (2 * (f'(x_n))^2))

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其中：

• x_n 为第 n 次迭代的值
• x_n+1 为第 n+1 次迭代的值
• f(x_n) 为函数 f(x) 在 x_n 处的函数值
• f'(x_n) 为函数 f(x) 在 x_n 处的导数值
• f”(x_n) 为函数 f(x) 在 x_n 处的二阶导数值

步骤

1. 给定函数 f(x) 和一个初始猜测值 x₀

2. 重复以下步骤，直到满足预定义的收敛准则：

   • 计算 f(x_n)、f'(x_n) 和 f”(x_n)
   • 利用牛顿三次迭代公式计算 x_n+1
3. 返回 x_n+1 作为函数 f(x) 的 근的估计值

优势

• 如果满足某些条件，例如函数具有连续的一阶和二阶导数，则具有三次收敛速度
• 在求解具有多个根的函数时，收敛性通常比其他方法更好

局限性

• 要求函数具有连续的一阶和二阶导数
• 可能需要仔细选择初始猜测值以确保收敛
• 可能不适用于某些复杂函数或函数具有奇异性

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