简化牛顿迭代计算公式

通过引入中间变量 g(x) = f(x) / f'(x)，牛顿迭代公式可简化为 x_n+1 = x_n – g(x_n)，这在 f'(x) 难以计算、目标方程复杂或需要快速近似解时特别有用。

简化牛顿迭代计算公式

牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程的强大方法。然而，它的公式对于某些应用来说可能过于复杂。下面介绍一种简化牛顿迭代公式的方法，使得计算更加容易。

简化公式

原始的牛顿迭代公式为：

x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

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其中：

• x_n 是第 n 次迭代的近似解
• f(x) 是目标方程
• f'(x) 是 f(x) 的导数

通过引入一个中间变量 g(x) = f(x) / f'(x)，可以简化公式为：

x_n+1 = x_n - g(x_n)

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推导

我们可以通过将 g(x) 代入原始公式来推导出简化公式：

x_n+1 = x_n - (f(x_n) / f'(x_n))
       = x_n - g(x_n)

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应用

简化公式在以下情况下特别有用：

• 当 f'(x) 难以计算时
• 当目标方程是复杂函数时
• 当需要快速近似解时

例如，在求解 f(x) = x^3 – 1 = 0 时，原始的牛顿迭代公式需要计算 f'(x) = 3x^2。然而，使用简化公式，我们可以避免计算导数，从而简化计算过程。

注意

虽然简化公式简化了计算，但需要注意以下几点：

• 对于某些方程，简化公式可能导致收敛速度较慢。
• 简化公式只适用于一元方程的求解。

以上就是简化牛顿迭代计算公式的详细内容，更多请关注叮当号网其它相关文章！