改进牛顿迭代法公式

为了改进牛顿迭代法在某些情况下失效的问题，对其公式进行了改进，即：x_{n+1} = x_n – c * f(x_n) / f'(x_n)，其中 c 是常数（通常介于 0 和 1 之间）。此公式通过防止在 f'(x) 为零或接近零时失效来提高稳定性。最佳的 c 值取决于方程和初始条件，通常建议使用较小的值以提高稳定性或较大的值以加速收敛。

改进牛顿迭代法的公式

牛顿迭代法是一种迭代方法，用于求解方程的根。其基本公式为：

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

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其中：

• (x_n) 是第 (n) 次迭代的近似值
• (f(x)) 是要求解的函数
• (f'(x)) 是函数 (f(x)) 的导数

然而，牛顿迭代法在某些情况下可能会失效，例如当 (f'(x)) 为零或接近零时。因此，需要对牛顿迭代法的公式进行改进。

改进公式

一种改进的牛顿迭代法公式是：

x_{n+1} = x_n - c * f(x_n) / f'(x_n)

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其中：

• (c) 是一个常数（通常介于 0 和 1 之间）

这个改进的公式可以防止迭代在 (f'(x)) 为零或接近零时失效。当 (c) 取值为 0 时，改进后的公式与原始的牛顿迭代法公式相同。当 (c) 取值接近 1 时，改进后的公式更接近于割线法的公式，这是一种更稳定的迭代方法，但收敛速度较慢。

选择 (c) 的值

最佳的 (c) 值取决于要求解的特定方程和迭代的初始条件。通常，建议使用较小的 (c) 值（例如 0.5 或 0.75）来提高稳定性，但较大的 (c) 值（例如 0.9 或 1）可以加快收敛速度。

实现

改进的牛顿迭代法可以通过以下算法实现：

1. 给定函数 f(x) 和导数 f'(x)
2. 设置初始近似值 x0
3. 设置常数 c
4. 循环直到满足终止条件（例如，当 |x_{n+1} - x_n| 

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