牛顿迭代法数学公式

牛顿迭代法（牛顿-拉夫逊法）求解方程 f(x) = 0 的近似根，其数学公式为：x(n+1) = x(n) – f(x(n)) / f'(x(n))。具体步骤包括：求出函数 f(x) 的导数 f'(x)。输入初始猜测值 x_0。迭代计算 x(n)，直至收敛到所需精度。

牛顿迭代法的数学公式

牛顿迭代法，也称为牛顿-拉夫逊法，是一种根的数值解法。它用于求解方程 f(x) = 0 中根的近似值。

其数学公式如下：

x(n+1) = x(n) – f(x(n)) / f'(x(n))

其中：

• x(n) 是第 n 次迭代的近似值。
• x(n+1) 是第 n+1 次迭代的近似值。
• f(x) 是待求根的函数。
• f'(x) 是 f(x) 的导数。

推导

牛顿迭代法的推导从泰勒级数展开开始：

f(x_0 + h) = f(x_0) + hf'(x_0) + (h^2/2)f''(x_0) + ...

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其中 h 是一个增量。

如果我们令 f(x_0 + h) = 0，则得到：

f(x_0) + hf'(x_0) + (h^2/2)f''(x_0) + ... = 0

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忽略二阶及更高阶的导数，我们得到：

f(x_0) + hf'(x_0) = 0

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求解 h，得到：

h = -f(x_0) / f'(x_0)

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令 x_1 = x_0 + h，我们得到：

x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)

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这就是牛顿迭代法的公式。

使用步骤

1. 求出f(x) 的导数 f'(x)。
2. 输入一个初始猜测值 x_0。
3. 通过公式 x(n+1) = x(n) – f(x(n)) / f'(x(n))，迭代计算 x(n)。
4. 重复步骤 3，直到 x(n) 收敛到所需精度。

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