写出计算 a的牛顿迭代公式

牛顿迭代法用于寻找函数根，其公式为：x_{n+1} = x_n – f(x_n) / f'(x_n)。为了求解 a，我们定义函数 g(x) = x^2 – a，其牛顿迭代公式简化为：x_{n+1} = (x_n^2 + a) / 2。通过迭代，x_n 逐步逼近 a 的平方根。

牛顿迭代公式求解 a

牛顿迭代法是一种用于寻找函数根的迭代方法。对于函数 f(x)，它的牛顿迭代公式为：

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

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其中：

• x_n 是第 n 次迭代的近似值
• f(x_n) 是 f(x) 在 x_n 处的函数值
• f'(x_n) 是 f(x) 在 x_n 处的导数值

求解 a

为了求解 a，我们需要定义一个函数 g(x) = x^2 – a。它的根就是我们所要找的 a。

g(x) 的导数为：

g'(x) = 2x

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因此，g(x) 的牛顿迭代公式为：

x_{n+1} = x_n - (x_n^2 - a) / 2x_n

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化简得到：

x_{n+1} = (x_n^2 + a) / 2

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应用举例

例如，要找到 a = 4 的平方根，我们可以从一个初始猜测值 x_0 = 2 开始，使用牛顿迭代公式进行迭代：

• x_1 = (2^2 + 4) / 2 = 4
• x_2 = (4^2 + 4) / 2 = 10
• x_3 = (10^2 + 4) / 2 = 54
• …

随着迭代次数的增加，x_n 越来越接近 a 的平方根。

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