写出计算牛顿迭代公式

牛顿迭代公式用于求解方程的根，其迭代公式为：选择一个离方程根较近的初始值 (x_0)。迭代：使用公式 (x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}) 重复计算。停止迭代：当相邻近似值的差小于容差或超过最大迭代次数。

牛顿迭代公式

牛顿迭代法，又称切线法，是一种用于求解方程根的数值方法，其迭代公式如下：

$$x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

其中：

• (x_{n+1}) 是迭代的下一个近似值
• (x_n) 是当前的近似值
• (f(x)) 是目标方程
• (f'(x)) 是目标方程的导数

如何使用牛顿迭代公式

1. 选择初始值：选择一个离方程根较近的初始值 (x_0)。
2. 迭代：使用迭代公式 (x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}) 重复计算，直到满足停止准则。

3. 停止准则：当满足以下条件之一时停止迭代：

   • 两个相邻近似值之差小于给定的容差
   • 超过最大迭代次数

示例

求解方程 (x^2 – 5 = 0)。

• 初始值：(x_0 = 2)

• 迭代：

  • (x_1 = x_0 – \frac{x_0^2 – 5}{2x_0} = 2.5)
  • (x_2 = x_1 – \frac{x_1^2 – 5}{2x_1} \approx 2.24)
  • (x_3 = x_2 – \frac{x_2^2 – 5}{2x_2} \approx 2.236)
• 由于连续两次迭代的近似值之差小于 0.001，因此停止迭代。
• 近似解：(x \approx 2.236)

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