C++ 函数递归详解：递归的复杂度分析

递归是一种函数调用自身的过程。递归的时间复杂度可以通过计算递归调用次数来分析，例如阶乘函数为 o(n^2)，斐波那契数列第 n 项的递归函数为 o(φ^n)，其中 φ 是黄金比。

C++ 函数递归详解：递归的复杂度分析

什么是递归？

递归是一种函数调用自身的行为。当函数在自身内部调用自身时，就发生了递归。

递归的例子

以下是一个计算阶乘的递归函数：

int factorial(int n) {
  if (n == 0) {
    return 1;
  }
  return n * factorial(n - 1);
}

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递归的复杂度分析

递归函数的复杂度可以通过计算其递归调用次数来分析。

对于阶乘函数：

• 当 n 为 0 时，递归调用 1 次。
• 当 n 为 1 时，递归调用 2 次（1 次自身调用，1 次尾调用）。
• 当 n 为 2 时，递归调用 3 次（1 次自身调用，2 次尾调用）。

以此类推，当 n 为 k 时，递归调用次数为 k + 1。

递归调用次数形成一个等差数列：1, 2, 3, …, k + 1，其求和公式为：

1 + 2 + 3 + ... + (k + 1) = (k + 1) * (k + 2) / 2

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因此，阶乘函数的复杂度为 O(n^2)。

实战案例

以下是一个计算斐波那契数列第 n 项的递归函数：

int fibonacci(int n) {
  if (n <= 1) {
    return 1;
  }
  return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

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递归调用次数与黄金比相关，其复杂度为 O(φ^n)，其中 φ ≈ 1.618 是黄金比。

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